設(shè)f（x）=x（x-1）（x+1），請問下列哪些選項是正確的？
（1）數(shù)學(xué)公式（2）f（x）=2有整數(shù)解　 （3）f（x）=x2+1有實數(shù)解　 （4）f（x）=x有不等于零的有理數(shù)解
（5）若f（a）=2，則f（-a）=2．

解：（1）
（2）f（x）=2?x（x-1）（x+1）=2?x3-x-2=0
令g（x）=x3-x-2
若為g（x）=0的有理根，則a|1，b|2，故可為±1，±2．
但g（1）≠0，g（-1）≠0，g（2）≠0，g（-2）≠0，故g（x）=x3-x-2=0沒有整數(shù)解，即f（x）=x3-x=2沒有整數(shù)解．
（3）f（x）=x2+1?x3-x=x2+1?x3-x2-x-1=0為一整系數(shù)三
次方程式，此方程式必有三個根；因為虛根必成共軛虛根出
現(xiàn)，故此方程式必有一實根．
（4），
故f（x）=x沒有不等于0的有理根．
（5）f（a）=2?a（a-1）（a+1）=2，則f（-a）=-a（-a-1）（-a+1）=-a（a+1）（a-1）=-2
故正確的是（3）
分析：（1）把代入f（x）可得結(jié)論錯誤；（2）方程f（x）=2有整數(shù)解，即x3-x-2=0有整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3-x-2有整零點，利用反證法即可得到結(jié)論；（3）方程 f（x）=x2+1有實數(shù)解，即x3-x2-x-1=0為一整系數(shù)三次方程式，此方程式必有三個根；因為虛根必成共軛虛根出現(xiàn)，故此方程式必有一實根；（4）f（x）=x有不等于零的有理數(shù)解，即x（x-1）（x+1）=x，解此方程即可求得結(jié)論；（5）f（x）=x（x-1）（x+1）是奇函數(shù)，因此f（a）=2，則f（-a）=-2．
點評：此題是中檔題．考查函數(shù)的零點與方程根之間的關(guān)系，以及函數(shù)的奇偶性，是道綜合題，同時考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007-2008學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，若g（x）=a（x-2）-（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x=1時，f（x）取得極值，證明：對任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且當(dāng)x≥1，f（x）≥1時，有f[f（x）]=x，求證：f（x）=x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年北京市房山區(qū)周口店中學(xué)高三（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，若g（x）=a（x-2）-（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x=1時，f（x）取得極值，證明：對任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且當(dāng)x≥1，f（x）≥1時，有f[f（x）]=x，求證：f（x）=x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年浙江省高考數(shù)學(xué)沖刺試卷3（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，若g（x）=a（x-2）-（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x=1時，f（x）取得極值，證明：對任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且當(dāng)x≥1，f（x）≥1時，有f[f（x）]=x，求證：f（x）=x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

設(shè)f（x），g（x），h（x）是R上的任意實值函數(shù)，如下定義兩個函數(shù)（f°g）（x）和（x）對任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（x）=f（x）g（x），則下列等式恒成立的是（ ）
A．（（f°g）•h）（x）=°）（x）
B．°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）
C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）
D．•h）（x）=•）（x）

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