Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，以軸Ox為始邊做兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A．B兩點，已知A，B的縱坐標(biāo)分別為

2

10

，

2 5

5

．
（1）求cos（α+β）；
（2）求α+2β的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義求得α，β的正弦值，再求得余弦，然后利用兩角和的余弦得答案；
（2）配角后利用兩角和的正弦求得sin（α+2β），結(jié)合角的范圍求得α+2β的值．

解答： 解：（1）由題意可得，sinα=

2

10

，sinβ=

2 5

5

，
∵α，β為銳角，
∵0°＜α＜30°，0°＜β＜90°，
∴cosα=

1-sin2α

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

，
cosβ=

1-sin2β

=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

7 2

10

×

5

5

-

2

10

×

2 5

5

=

10

10

；
（2）∵0°＜α＜30°，0°＜β＜90°，
∴0°＜α+β＜120°，
又cos（α+β）=

10

10

，∴sin(α+β)=

1-( 10 10 )2

=

3 10

10

．
則sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ
=

3 10

10

×

5

5

+

10

10

×

2 5

5

=

2

2

．
∴α+2β=135°．

點評：本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，是中檔題．