Question

在四面體ABCD中，△BCD是邊長為2的正三角形，面ABD面⊥BCD，面ABC⊥面ADC，M、N分別是AC、BC的中點．
（1）過三點D，M，N的平面α與面ABD交于直線l，求證：l∥MN；
（2）若AB=AD，求四面體ABCD的體積．

Answer 1

（1）證明：∵M、N分別是AC、BC的中點，∴MN∥AB
∵MN?面ABD，AB?面ABD
∴MN∥面ABD （2分）
又MN?面α，α∩面ABD=l，
∴l(xiāng)∥MN （4分）
（2）解：如圖取BD中點O，連AO、CO，
∵AB=AD，△BCD為正三角形 （6分）
∴AO⊥BD，OC⊥BD，
又面ABD⊥面BCD，∴AO⊥面BCD （8分）
過B作BE⊥AC，連接DE，因為△ADC≌△ABC，所以DE⊥AC，連接OE，由面ABC⊥面ADC，得BE⊥DE （9分）
在等腰Rt△BED中，由BD=2得OE=1，
在Rt△OEC中，OC=，所以，
在Rt△AOC中，由OC=，，得OA=（12分）
∴V_{四面體ABCD}===（13分）
分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明MN∥AB，利用線面平行的判定與性質(zhì)可得l∥MN；
（2）取BD中點O，連AO、CO，過B作BE⊥AC，連接DE，可得BE⊥DE，從而可求四面體ABCD的體積．
點評：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查四面體的體積，考查學生分析、計算能力，屬于中檔題．