Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=2處有極值-6，求y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）對x∈[-1，1]都有f′（x）≤2，求的范圍．

Answer 1

【答案】分析：求出f′（x），（1）根據(jù)函數(shù)在x=2處有極值-6得到f′（2）等于0且f（2）等于-6，聯(lián)立即可求出a與b的值代入到導(dǎo)函數(shù)中得到其解析式，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到關(guān)于x的不等式，求出解集即為函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）因為導(dǎo)函數(shù)x∈[-1，1]都有f′（x）≤2得到f′（1）和f′（-1）都小于等于2，聯(lián)立構(gòu)成不等式組，在平面直角坐標系中畫出組成的區(qū)域如圖陰影部分，設(shè)z等于，則z表示陰影部分中任意一點（a，b）與（1，0）連線的斜率，根據(jù)圖形可得出z的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b
依題意有即解得
∴f′（x）=3x²-5x-2
由f′（x）＜0，即（3x+1）（x-2）＜0，解得
∴y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：；

（2）由得
不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：
由得∴Q點的坐標為（0，-1）．
設(shè)，則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點（a，b）與點P（1，0）連線斜率．
∵K_PQ=1，由圖可知z≥1或z≤-2，
即
點評：此題要求學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定圓函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)取極值時所滿足的條件，以及會進行簡單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．