Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．
（1）若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，證明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）設D是BC的中點，E是A₁C₁上的一點，且A₁B∥平面B₁DE，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明B₁C⊥A₁B，B₁C⊥BC₁，A₁B∩BC₁=B，證明BC₁⊥平面A₁BC₁，然后證明平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）設D是BC的中點，設B₁D交BC₁于點F，連接EF，則平面A₁BC₁∩平面B₁DE=EF．利用=
求出的值．
解答：（本題滿分14分）
解：（1）因為BB₁=BC，所以側面BCC₁B₁是菱形，所以B₁C⊥BC₁．   …（3分）
又因為B₁C⊥A₁B，且A₁B∩BC₁=B，所以BC₁⊥平面A₁BC₁，…（5分）
又B₁C?平面AB₁C，所以平面AB₁C⊥平面A₁BC₁．…（7分）
（2）設B₁D交BC₁于點F，連接EF，則平面A₁BC₁∩平面B₁DE=EF．
因為A₁B∥平面B₁DE，A₁B?平面A₁BC₁，所以A₁B∥EF．    …（11分）
所以=．
又因為=，所以=．  …（14分）
點評：主要考查直線與平面的位置關系特別是平行與垂直的關系，考查空間想象能力、邏輯推理能力，考查畫圖、讀圖、用圖的能力．