Question

設(shè)定義在區(qū)間[x₁， x₂]上的函數(shù)y=f(x)的圖象為C，M是C上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量=，，=(x，y)，當(dāng)實(shí)數(shù)λ滿足x=λ x₁+(1－λ) x₂時(shí)，記向量=λ+(1－λ)．定義“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x₁，x₂]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指“k恒成立”，其中k是一個(gè)確定的正數(shù)．

（1）設(shè)函數(shù) f(x)=x²在區(qū)間[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似，求k的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)k=下線性近似．

（參考數(shù)據(jù)：e=2.718，ln(e－1)=0.541）

Answer 1

【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，

所以B，N，A三點(diǎn)共線，　　　　　　　　　 　　　　　　　 ……………………2分

又由x=λ x₁+(1－λ) x₂與向量=λ+(1－λ)，得N與M的橫坐標(biāo)相同． ……………4分

對(duì)于 [0，1]上的函數(shù)y=x²，A(0，0)，B(1，1)，

則有，故；

所以k的取值范圍是．　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………6分

（2）對(duì)于上的函數(shù)，

A()，B()，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………8分則直線AB的方程，　　　　　 　　　　……………………10分

令，其中，

于是，　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………13分

列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		減	0

則，且在處取得最大值，

又0.123，從而命題成立． 　　　 ……………………16分