Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中點．
（1）求證：AE⊥平面PCD；
（2）求平面ACE與平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在點F，使得三棱錐F-ACE的體積恰為

4

3

，若存在，試確定點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)邊的長度關(guān)系可知三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD，同理PA⊥AB，又AD∩AB=A，滿足線面垂直的判斷定理，則PA⊥平面ABCD，根據(jù)線面垂直得到面面垂直，再由面面垂直得到線線垂直，即CD⊥AE，因為E是PD的中點，三角形PAD是等腰直角三角形，從而AE⊥PD，又PD∩CD=D，滿足線面垂直的判定定理可得結(jié)論．
（2）解法一：取AD的中點K，連接EK，過K作KT⊥AC，垂足為T，連接ET．易知∠ETK即為所求的平面ACE與平面ABCD所成二面角的平面角，在三角形ETK中求出此角的余弦值即可；解法二：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面AEC的一個法向量，而

AP

是平面ABCD的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求出所求；
（3）假設(shè)在線段BC上，存在點F（2，y₀，0），使得三棱錐F-ACE的體積恰為

4

3

，然后求出點F（2，y₀，0）到平面AEC的距離為h，而h=

| AF• n|

|n|

=

|4-y0|

22+1+1

解之即可．

解答：解：（1）因為PA²+AD²=4²+4²=32，PD²=（4

2

）²=32，
所以三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD．
同理PA²+AB²=4²+2²=20，PB²=（2

5

）²=20，
所以三角形PAB是直角三角形，所以PA⊥AB．
又AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD．
因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因為AE?平面PAD，
所以CD⊥AE．
因為E是PD的中點，三角形PAD是等腰直角三角形，
所以AE⊥PD．
又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD．
（2）解法一：取AD的中點K，連接EK，過K作KT⊥AC，垂足為T，連接ET．

因為E是PD的中點，所以EK∥PA，EK=2，EK⊥平面ABCD，
所以EK⊥AC．
又EK∩TK=K，所以AC⊥平面EKT，AC⊥ET，
故∠ETK即為所求的平面ACE與平面ABCD所成二面角的平面角，
因為三角形KTA與三角形CDA相似，所以

TK

CD

=

AK

AC

，
又AC=

42+22

=2

5

，所以TK=

AK•CD

AC

=

2×2

2 5

=

2 5

5

，
所以ET=

( 2 5 5 )2+22

=

2 30

5

．
故cos∠ETK=

2 5 5

2 30 5

=

6

6

．
解法二：如圖，以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），C（2，4，0），E（0，2，2），P（0，0，4），

AC

=（2，4，0），

AE

=（0，2，2），

設(shè)n=（x，y，z）是平面AEC的一個法向量，
則有

n• AC =0 n• AE =0

，得

x+2y=0 y+z=0

，
令z=1得y=-1，x=2，即n=（2，-1，1），
由（1）可知

AP

=（0，0，4）是平面ABCD的一個法向量，
所以cos＜n，

AP

＞=

(2，-1，1)•(0，0，4)

4× 22+1+1

=

6

6

．
結(jié)合圖形易知，平面ACE與平面ABCD所成二面角的余弦值為

6

6

．
（3）如圖，假設(shè)在線段BC上，存在點F（2，y₀，0），使得三棱錐F-ACE的體積恰為

4

3

，
由（2）知，ET=

2 30

5

，
AC=2

5

，
則S_△ACE=

1

2

AC•ET=

1

2

×2

5

×

2 30

5

=2

6

，
設(shè)F（2，y₀，0）到平面AEC的距離為h，則

4

3

=

1

3

×2

6

×h，解得h=

6

3

．
又

AF

=（2，y₀，0），n=（2，-1，1）為平面AEC的一個法向量，所以h=

6

3

=

| AF• n|

|n|

=

|4-y0|

22+1+1

，
得|4-y₀|=2，所以y₀=2或y₀=6＞4（舍去），
所以點F的坐標(biāo)為（2，2，0），即點F為BC的中點時三棱錐F-ACE的體積恰為

4

3

．

點評：本題是一道綜合題，考查了線面垂直的判定以及二面角的度量和幾何體的體積等有關(guān)問題，同時考查了利用空間向量的方法求解立體幾何問題，以及空間想象能力和計算能力的考查，屬于中檔題．