Question

現(xiàn)給出如下四個(gè)命題：
①過(guò)點(diǎn)A（4，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)共有兩條；
②若平面α內(nèi)的兩條直線(xiàn)都與平面β平行，則α∥β；
③已知α∩β=l，若α內(nèi)的直線(xiàn)m垂直于l，則α⊥β；
④已知α⊥β，α∩β=l，若α內(nèi)的直線(xiàn)m與l不垂直，則m與β也不垂直．
請(qǐng)你寫(xiě)出其中所有真命題的序號(hào)：

①④

．

Answer 1

分析：①當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求出一條直線(xiàn)方程．當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求出另一條直線(xiàn)方程；②若平面α內(nèi)的兩條直線(xiàn)都與平面β平行，則α與β相交或平行；③α∩β=l，若α內(nèi)的直線(xiàn)m垂直于l，則α與β相交或平行；④由面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷．

解答：解：①當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率等于

1-0

4-0

=

1

4

，
故直線(xiàn)的方程為y-1=

1

4

（x-4），即 x-4y=0．
當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為 x+y+m=0，把A（4，1）代入直線(xiàn)的方程得 m=-5，
故求得的直線(xiàn)方程為 x+y-5=0．
綜上，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)方程共兩條件，故①正確；
②若平面α內(nèi)的兩條直線(xiàn)都與平面β平行，
則α與β相交或平行，故②錯(cuò)誤；
③α∩β=l，若α內(nèi)的直線(xiàn)m垂直于l，則α與β相交或平行，故③錯(cuò)誤；
④α⊥β，α∩β=l，若α內(nèi)的直線(xiàn)m與l不垂直，
由面面垂直的性質(zhì)定理知m與β也不垂直．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系，空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間線(xiàn)、面之間位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)，建立良好的空間想象能力是解答本題的關(guān)鍵．