Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，點A是橢圓上的一點，且點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上一動點P（x₀，y₀）關于直線y=2x的對稱點為P₁（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）依題意知，2a=4，e=

2

2

由此可求出橢圓C的方程．
（2）點P（x₀，y₀）關于直線y=2x的對稱點為P₁（x₁，y₁），由題設條件能推出3x₁-4y₁=-5x₀．再由點P（x₀，y₀）在橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1上，能夠推出3x₁-4y₁的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意知，2a=4，∴a=2．
∵e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

，b=

a2-c2

=

2

，
∴所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵點P（x₀，y₀）關于直線y=2x的對稱點為P₁（x₁，y₁），
∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

解得：x1=

4y0-3x0

5

，y1=

3y0+4y0

5

．
∴3x₁-4y₁=-5x₀．
∵點P（x₀，y₀）在橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1上，
∴-2≤x₀≤2，則-10≤-5x₀≤10．
∴3x₁-4y₁的取值范圍為[-10，10]．

點評：本題考查橢圓的基本性質及其應用，考查橢圓與直線的位置關系，解題時要注意公式的靈活運用．