已知數(shù)列{bn}滿足,
(1)求b2,b3,猜想數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)設(shè),,比較xx與yy的大。
【答案】分析:(1)由b1=,+bn-1=2(n≥2,n∈N*)可求b2,b3,從而可猜想數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;
(2)利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得xx與yy,比較可知,二者相等.
解答:解:(1)∵b1=,+bn-1=2(n≥2,n∈N*),
=2-b1=2-=
∴b2=;
同理可求,b3=,于是猜想:bn=
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),b1=,結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k時(shí),bk=,
則n=k+1時(shí),∵+bk=2,
=2-=,
∴bk+1=
即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立;
綜上所述,對(duì)任意n∈N*,bn=均成立.
(2)∵x==,y==
∴xx==,
yy==,
∴xx=yy
點(diǎn)評(píng):本題考查歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法,考查推理論證與綜合運(yùn)算能力,比較xx與yy的大小是難點(diǎn),屬于難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,a3=8,前3項(xiàng)的和S3=14
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)已知數(shù)列{bn}滿足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=
n
2n
(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=5,bn+1=5bn-6bn-1(n≥2),若數(shù)列{an}滿足a1=1,an=bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
)(n≥2,n∈N*)

(1)求證:數(shù)列{bn+1-2bn}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)<3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在數(shù)列{}an中,如果存在常數(shù)T(T∈N*),使得an+T=an對(duì)于任意正整數(shù)n均成立,那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,其中T叫做數(shù)列{an]的周期.已知數(shù)列{bn}滿足bn+2=|bn+1-bn|,若b1=1,b2=a,(a≤1,a≠0)當(dāng)數(shù)列{bn}的周期為3時(shí),則數(shù)列{bn}的前2010項(xiàng)的和S2010等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
,bn+1=(1+bn)2f(bn)(n∈N+),求證:對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x
1-x
(0<x<1)
的反函數(shù)為f-1(x).設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f-1(an)(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
,bn+1=(1+bn)2f-1(bn)
,求證:對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+
+
1
nan+bn
<2

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