Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1在x=-1處取得極值．
（I）求實數(shù)a的值；
（II）當(dāng)x∈[-2，1）時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）先對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=3x²-3a，由題意可得，f′（-1）=0可求
（II）由f（x）=x³-3x-1，得f′（x）=3x²-3
由f′（x）=3x²-3=0，可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1），單調(diào)遞增，（-1，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增
，從而函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上的最大值為f（-1），最小值是f（-2）與f（1）中的較小者
解答：解：（I）f′（x）=3x²-3a
由題意可得，f′（-1）=0即3-3a=0∴a=1
（II）由f（x）=x³-3x-1，得f′（x）=3x²-3
令f′（x）=3x²-3=0，得x=±1
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1），單調(diào)遞增，（-1，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增
從而函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上的最大值為f（-1），最小值是f（-2）與f（1）中的較小者
∵f（-2）=-3，f（-1）=1，f（1）=-3
∴函數(shù)的值域是[-3，1]
點評：本題主要考查了函數(shù)在某點x取得極值的性質(zhì)：f′（x）=0，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的最值（值域問題），這是導(dǎo)數(shù)中最基本的試題類型．