Question

9．下列函數(shù)中，滿足f（xy）=f（x）+f（y）的單調(diào)遞增函數(shù)是（　　）

• A． $f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$
• B． f（x）=2^x
• C． $f（x）={log_{\frac{1}{2}}}$x
• D． f（x）=log₂x

Answer 1

分析 對于A與B，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，f（xy）≠f（x）+f（y），可排除；
對于C，雖然f（xy）=${log}_{\frac{1}{2}}（xy）$=${log}_{\frac{1}{2}}x$+${log}_{\frac{1}{2}}y$=f（x）+f（y），但f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$為單調(diào)減函數(shù)，可排除；
對于D，是滿足f（xy）=f（x）+f（y）的單調(diào)遞增函數(shù)，正確．

解答 解：對于A，f（xy）=（$\frac{1}{2}$）^xy≠（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^y，故A錯誤；
對于B，f（xy）=2^xy≠（2）^x+（2）^y，故B錯誤；
對于C，f（xy）=${log}_{\frac{1}{2}}（xy）$=${log}_{\frac{1}{2}}x$+${log}_{\frac{1}{2}}y$=f（x）+f（y），但f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$為單調(diào)減函數(shù)，故C錯誤；
對于D，f（xy）=log₂（xy）=log₂x+log₂y=f（x）+f（y），f（x）=log₂x為單調(diào)增函數(shù)，滿足題意，故D正確；
故選：D．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)與單調(diào)性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．