Question

下圖為一臺冷軋機的示意圖。冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經過各對軋輥逐步減薄后輸出。

（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為a，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r0，問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？

（Ⅱ）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600mm，若第k對軋輥有缺陷,每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為Lk，為了便于檢修，請計算L1、L2、L3并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）。

車輥 序號	1	2	3	4
疵點間距LK （單位：mm）				1600

Answer 1

（I）解：厚度為a的帶鋼經過減薄率均為r_o的n對軋輥后厚度為a(1-ro)n.

為使出帶鋼的厚度不超過β，冷軋機的軋輥數（以對為單位）應滿足a(1-ro)n≤β，

即 (1-r_o)n≤β/a

由于(1-r_o)n>O, β/a>0,對上式兩端取對數，得nlg(l-r_o)≤lg(β/a).

由于lg(1-r_o)<0,所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)].

因此，至少需要安裝不小于(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)]的整數對軋輥

（II）解法一：第k對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積為1600a×(1-r)k×寬度 （其中r＝20％），而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為Lk×a(1-r)⁴×寬度。

因寬度相等，且無損耗，由體積相等得1600?a(1-r)k=Lk?a(1-k)⁴(r=20%),

即 Lk=1600?0.8K^-4. 由此得 l₃=2000(mm), l₂=2500(mm), l₁=3125mm)

解法二：第3對軋輥出口疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因寬度不變，有：1600=L³?(1-0.2),

所以 L₃=1600/0.8=2000(mm).

同理 L₂=L₃/0.8=2500(mm).L₁=L₂/0.8=3125(mm).