Question

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”；
（I）求點(diǎn)P（4，0）的“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（II）求點(diǎn)P（4，0）的所有“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

（I）設(shè)AB為點(diǎn)P（4，0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y

21

=4x1，

y

22

=4x2，
弦AB的垂直平分線方程為y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

(x-

x1+x2

2

)，
由題意它與x軸相交于點(diǎn)P（4，0），
令y=0?4=

y1+y2

2

y1-y2

x1-x2

+

x1+x2

2

，
∴4=

4(x1-x2)

2(x1-x2)

+

x1+x2

2

?4=2+

x1+x2

2

?

x1+x2

2

=2，
∴點(diǎn)P（4，0）的“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)中點(diǎn)為（2，y_m），這里ym=

y1+y2

2

直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y 21 4 - y 22 4

=

4

y1+y2

=

2

ym

，
∴弦AB所在直線的方程是y-ym=

2

ym

(x-2)?y=

2

ym

x+(ym-

4

ym

)，
代入y²=4x中，整理得

4

y 2m

x2-

16

y 2m

x+(ym-

4

y  m

)2=0?4x2-16x+

y

2m

(ym-

4

y  m

)2=0（*）
則x₁、x₂是方程（*）的兩個(gè)實(shí)根，且x₁+x₂=4，x1x2=

y 2m (ym- 4 y  m )2

4

，
設(shè)點(diǎn)P（4，0）的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l，則l2=(x1-x2)2+(y1-y2)2，
∴l2=(1+

4

y 2m

)(x1-x2)2=(1+

4

y 2m

)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+

4

y 2m

)[16-

y

2m

(ym-

4

y  m

)2]，
∴l2=-

y

4m

+4

y

2m

+32=-(

y

2m

-2)2+36，
∴l(xiāng)_max=6．