Question

若任意兩圓交于不同兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且滿足

x1-x2

y1-y2

+

y1+y2

x1+x2

=0，則稱兩圓為“O→心圓“，已知圓C₁：x²+y²-4x+2y-a²+5=0與圓C₂：x²+y²-（2b-10）x-2by+2b²-10b+16=0（a，b∈R）為“O→心圓“，則實數(shù)b的值為

 

．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：綜合題,直線與圓

分析：由

x1-x2

y1-y2

+

y1+y2

x1+x2

=0，可得（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）=0，將A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入x²+y²-4x+2y-a²+5=0，兩方程相減，可得

x1-x2

y1-y2

=

1

2

（*），將A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入x²+y²-（2b-10）x-2by+2b²-10b+16=0，兩方程相減，可得

(2b-10)(x1-x2)

y1-y2

+2b=0，將（*）代入得：

2b-10

2

+2b=0，即可求出實數(shù)b的值．

解答： 解：∵

x1-x2

y1-y2

+

y1+y2

x1+x2

=0，
∴（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）=0
將A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入x²+y²-4x+2y-a²+5=0得：
x₁²+y₁²-4x₁+2y₁-a²+5=0…①
x₂²+y₂²-4x₂+2y₂-a²+5=0…②
①-②得：（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-4（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0
∴4（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0
∴

x1-x2

y1-y2

=

1

2

…（*）
將A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入x²+y²-（2b-10）x-2by+2b²-10b+16=0得：
x₁²+y₁²-（2b-10）x₁-2by₁+2b²-10b+16…③
x₂²+y₂²-（2b-10）x₂-2by₂+2b²-10b+16…④
 ③-④得：（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-（2b-10）（x₁-x₂）-2b（y₁-y₂）=0
∴（2b-10）（x₁-x₂）+2b（y₁-y₂）=0
即：

(2b-10)(x1-x2)

y1-y2

+2b=0，將（*）代入得：

2b-10

2

+2b=0
解得：b=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查新定義，考查學(xué)生的計算能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．