Question

 已知a、b、c是實數(shù)，函數(shù)f（x）=ax²＋bx＋c，g（x）=ax+b，當－1≤x≤1時，|f（x）|≤1．

   （Ⅰ）證明：|c|≤1；

   （Ⅱ）證明：當－1≤x≤1時，|g（x）|≤2；

   （Ⅲ）設(shè)a＞0，當－1≤x≤1時，g（x）的最大值為2，求f（x）.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）證：由條件當－1≤x≤1時，|f（x）|≤1，取x=0，得|c|＝|f（0）|≤1，即|c|≤1．

   （Ⅱ）證：當a＞0時，g（x）=ax+b在［－1，1］上是增函數(shù)，

所以g（－1）≤g（x）≤g（1），

因為|f（x）|≤1  （－1≤x≤1），|c|≤1，

所以g（1）=a+b=f（1）－c  3 ≤|f（1）|＋|c|≤2，

g（－1）＝－a+b=－f（－1）+c≥－（|f（－1）|＋|c|）≥－2，

由此得|g（x）|≤2；

當a＜0時，g（x）=ax+b在［－1，1］上是減函數(shù)，所以g（－1）≥g（x）≥g（1），

因為|f（x）|≤1  （－1≤x≤1），|c|≤1，

所以g（－1）=－a+b=－f（－1）+c≤|f（－1）|＋|c|≤2，

g（1）=a+b=f（1）－c≥－（|f（1）|＋|c|）≥－2，

由此得|g（x）|≤2；

當a=0時，g（x）=b，f（x）=bx+c，因為－1≤x≤1，

所以|g（x）|=|f（1）－c|≤|f（1）|+|c|≤2；

綜上，得|g（x）|≤2；

   （Ⅲ）解：因為a＞0，g（x）在［－1，1］上是增函數(shù)，當x=1時取得最大值2，即

g（1）=a+b=f（1）－f（0）=2，因為－1≤f（0）＝f（1）－2≤≤－1，

所以c=f（0）=－1.

因為當－1≤x≤1時，f（x）≥－1，即f（x）≥f（0），據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，直線x=0為二次函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸，故有＝0，即b=0，a=2，所以f（x）=2x.