Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）當(dāng)t＞-2時，判斷f（-2）和f（t）的大小，并說明理由；
（3）求證：當(dāng)1＜t＜4時，關(guān)于x的方程：在區(qū)間[-2，t]上總有兩個不同的解．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍，
（2）運用函數(shù)的極小值進(jìn)行證明，
（3）首先對關(guān)系式進(jìn)行化簡，然后利用零點存在定理進(jìn)行判定．
解答：解：（1）因為f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
要使函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0，
（2））①若-2＜t≤0，則f（x）在[-2，t]上單調(diào)遞增，∴f（t）＞f（-2）；
②若0＜t＜1，則f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增，在[0，t]上單調(diào)遞減
又f（-2）=13e^-2，f（1）=e，∴f（t）≥f（1）＞f（-2）；
③若t＞1，則f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減
∴f（t）＞f（1）＞f（-2），
   綜上，f（t）＞f（-2）．
（3）證：∵，∴，即為x²-x=，
令g（x）=x²-x-，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在[-2，t]（1＜t＜4）上總有兩個不同的解
因為g（-2）=6-（t-1）²=-，g（t）=t（t-1）-=，
所以當(dāng)1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
點評：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，同時考查了方程解的個數(shù)問題，綜合性強(qiáng)．