Question

過拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)作直線，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，問直線的傾斜角的正切值為多少時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)？

Answer 1

思路分析：拋物線的準(zhǔn)線我們可以依據(jù)拋物線的解析式求得，由此拋物線的準(zhǔn)線與拋物線對(duì)稱軸的焦點(diǎn)可求，所以過該交點(diǎn)的直線可設(shè)，由此代入，即可求得結(jié)果.

解：拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為(-1，0)，設(shè)直線MN的方程為y=k(x+1)，

由

得k²x²+2(k²-2)x+k²=0，∵直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，

∴Δ=4(k²-2)²-4k⁴＞0，即k²＜|k²-2|，k²＜1，-1＜k＜1；

設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，拋物線焦點(diǎn)為F(1，0)，∵以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，

∴MF⊥NF；∴=-1，即y₁y₂+x₁x₂-(x₁+x₂)+1=0，

又x₁+x₂=，x₁x₂=1，y₁²y₂²=16x₁x₂=16且y₁、y₂同號(hào)，

∴=-6.

解得k²=，∴k=.