Question

已知雙曲線(xiàn)C的離心率為

2

，且過(guò)點(diǎn)（4，-

10

）
（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線(xiàn)C上，求證：MF₁⊥MF₂；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

（1）∵雙曲線(xiàn)C的離心率為

2

，
∴雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)
∴設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為nx²-ny²=1
∵雙曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)（4，-

10

）
∴16n-10n=1∴n=

1

6

∴

x2

6

-

y2

6

=1即為所求．
（2）∵點(diǎn)M（3，m）在雙曲線(xiàn)C上
∴m=±

3

由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，我們只需證明點(diǎn)M（3，

3

） 滿(mǎn)足MF₁⊥MF₂即可
∴

MF1

=(2

3

-3，-

3

），

MF2

=(-2

3

-3，-

3

）
∴

MF1

• 

MF2

=(2

3

-3)(-2

3

-3)+(-

3

)(-

3

)=0，
∴MF₁⊥MF₂；
（3）S△F1MF2=

1

2

|

MF1

||

MF2

|
=

1

2

(2 3 -3)2+(- 3 )2

•

(-2 3 -3)2+(- 3 )2

=

1

2

(24-12 3 )(24+12 3 )

=6．