Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且4cosC．
（1）若tanA=2tanB，求sin（A-B）的值；
（2）若3ab=25-c²，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知的等式左邊第一項(xiàng)的第二個(gè)因式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)也利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，約分去括號(hào)合并后，求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角利用特殊角的三角函數(shù)值得到C的度數(shù)，進(jìn)而求出sinC的值，進(jìn)而由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sin（A+B）的值，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，分子分母同時(shí)除以cosαcosβ，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將tanA=2tanB代入求出的值，把sin（A+B）的值代入即可求出sin（A-B）的值；
（2）根據(jù)正弦定理===2R，表示出a與b，再由sinC的值，利用三角形的面積公式S=absinA表示出三角形ABC的面積，根據(jù)C的度數(shù)，求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，代入表示出的面積中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域表示出面積S的最大值，并求出此時(shí)A的度數(shù)，得到三角形ABC為等邊三角形，即a=b=c，代入已知的等式3ab=25-c²，求出c的值，再由sinC的值，求出三角形外接圓半徑R，代入表示出的S最大值的式子中即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：（1）由4cosC，
化簡(jiǎn)得：4cosC•+2cos²C-1=0，
即cosC=，又C為三角形的內(nèi)角，則有C=，
∴sinC=，又C=π-（A+B），
∴sin（A+B）=，
∵tanA=2tanB，
∴===3，
則sin（A-B）=；
（2）根據(jù)正弦定理===2R，
得到a=2RsinA，b=2RsinB，又sinC=，
則△ABC面積S=absinC
=R²sinAsinB
=R²sinAsin（-A）
=R²（sinAcosA+sin²A）
=R²[sin（2A-）+]，
當(dāng)2A-=，即A=時(shí)，
正弦函數(shù)sin（2A-）取得最大值1，此時(shí)面積S取得最大值為R²，
此時(shí)三角形為等邊三角形，則有a=b=c，
∴3ab=25-c²化簡(jiǎn)得：c=，
此時(shí)R==，
則三角形ABC面積的最大值為=．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，等邊三角形的性質(zhì)，以及正弦定理，本題的技巧性較強(qiáng)，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．