Question

若橢圓的中心為原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，若在l上存在點(diǎn)M，使線段OM的垂直平分線經(jīng)過(guò)F，則橢圓離心率的取值范圍為

[

2

2

，1)

．

Answer 1

分析：本題須注意到形助數(shù)的特點(diǎn)，借助平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，欲求離心率的范圍，此問(wèn)題的實(shí)質(zhì)為構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b，c的不等式關(guān)系即可．

解答：解：由于線段OM的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，
∴FM=FO
則利用平面幾何折線段大于或等于直線段（右焦點(diǎn)到準(zhǔn)線之間的距離），
∴MF≥FH（右焦點(diǎn)到準(zhǔn)線之間的距離）
∴FO≥FH，
即c≥

a2

c

-c
則有

c

a

≥

2

2

，又1＞

c

a

＞0．
則橢圓離心率的取值范圍為：[

2

2

，1)．
故答案為：[

2

2

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．離心率的范圍實(shí)質(zhì)為一個(gè)不等式關(guān)系，如何構(gòu)建這種不等關(guān)系？可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建． 利用題設(shè)和平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建不等式往往使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，回味本題的探究過(guò)程，認(rèn)識(shí)解析幾何中“形助數(shù)”簡(jiǎn)化運(yùn)算的途徑．