Question

如圖，一顆棋子從三棱柱的一個(gè)頂點(diǎn)沿棱移到相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為，剛開始時(shí)，棋子在上底面點(diǎn)A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為p_n．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）求證：＞．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過棋子移動(dòng)結(jié)合路徑直接求出p₁，利用棋子移動(dòng)的情況直接求解p₂的值；
（2）通過棋子移動(dòng)通過數(shù)列是等比數(shù)列求出p_n．然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明＞．在證明n=k+1時(shí)，利用分析法證明即可．
解答：解：（1）棋子在上底面點(diǎn)A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)，棋子從A出發(fā)．由3條路徑，所以p₁=．
棋子移動(dòng)兩次，還在上底面時(shí)，有兩種可能，p₂==．
（2）因?yàn)橐屏薾次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為p_n．
故落在下底面頂點(diǎn)的概率為1-p_n．
于是，移了n+1次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為p_n+1=
，從而p_n+1-=，
所以數(shù)列{}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為公比為，所以，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：＞．
①當(dāng)n=1時(shí)左式=，右式=，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124106453584589/SYS201310251241064535845021_DA/18.png">，所以不等式成立．
當(dāng)n=2時(shí)，左式=，右式=，所以不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥2）不等式成立，即．
則n=k+1時(shí)，左式==，
要證，
只要證，
即證：，
只要證，
只要證3^k+1≥2k²+6k+2，
因?yàn)閗≥2，所以=6k²+3=2k²+6k+2+2k（2k-3）+1＞2k²+6k+2
所以，
即n=k+1時(shí)不等式也成立，由①②可知＞對(duì)任意n∈N^*都成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的應(yīng)用，概率與數(shù)列相結(jié)合，數(shù)學(xué)歸納法與分析法證明不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力與分析問題解決問題的能力．