Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-（m-2）a^-x   （a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）若f（1）＜0，試判斷y=f（x）的單調(diào)性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）=0，解方程可得m=3；
（2）由f（1）＜0，可得0＜a＜1，判斷f（x）遞減，不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0轉(zhuǎn)化為x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
由判別式小于0，解不等式即可得到t的范圍；
（3）f（1）=$\frac{3}{2}$，可得a=2，求出g（x）的解析式，令t=2^x-2^-x，由x≥1可得t≥$\frac{3}{2}$．可得函數(shù)y=t²-2t+2=（t-1）²+1，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求最小值．

解答 解：（1）f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
可得f（0）=0，即a⁰-（m-2）a⁰=0，
即3-m=0，可得m=3；
（2）f（1）＜0，即a-a^-1＜0，
解得0＜a＜1．
由a^x遞減，a^-x遞增，
可得f（x）=a^x-a^-x在R上遞減，
不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0，
即為不等式f（x²+tx）＜-f（4-x）=f（x-4），
即有x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
則△=（t-1）²-16＜0，
解得-3＜t＜5．
即t的取值范圍是（-3，5）；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，即a-a^-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=2．
則g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x），
令t=2^x-2^-x，由x≥1可得t≥$\frac{3}{2}$．
則函數(shù)y=t²-2t+2=（t-1）²+1，
且在[$\frac{3}{2}$，+∞）遞增，
可得g（x）在[1，+∞）上的最小值為（$\frac{3}{2}$-1）²+1=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查恒成立問題的解法，以及換元法的運(yùn)用和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．