Question

已知圓M：(x+)²+y²=36，定點(diǎn)N(，0)，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足=2，=0．

(1)求點(diǎn)C的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(2，0)作直線l，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對(duì)角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直線J的方程；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PNGQ為PN的中垂線|PG|=|GN|

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故C點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=3，半焦距c=，∴短半軸長(zhǎng)b=2，∴點(diǎn)G的軌跡方程是=1

(2)因?yàn)?SUB>，所以四邊形OASB為平行四邊形．若存在l使得，則四邊形OASB為矩形

∴=0，

若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，

由得

∴=＞0，與=0矛盾，故l的斜率存在．

設(shè)l的方程為y=k(x-2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

由(9k²+4)x²-36k²x+36(k²-1)=0

∴x₁+x₂=，x₁x₂=①

y₁y₂=[k(x₁-2)][k(x₂-2)]

k²[x₁x₂-2(x₁+x₂)+4]=②

把①，②代入x₁x₂+y₁y₂=0得k=±

∴存在直線l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對(duì)角線相等．