Question

用電阻值分別為a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆ （a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞a₆） 的電阻組裝成一個如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最��？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先判斷當R_i=a_i，i=3，4，5，6，R₁，R₂是a₁，a₂的任意排列時，6個電阻的組件的總電阻最小，再分步進行證明即可．

解答：解：設(shè)6個電阻的組件（如圖3）的總電阻為R_FG．
當R_i=a_i，i=3，4，5，6，R₁，R₂是a₁，a₂的任意排列時，R_FG最�。�…（5分）
證明如下：
1°設(shè)當兩個電阻R₁，R₂并聯(lián)時，所得組件阻值為R：則

1

R

=

1

R1

+

1

R2

．
故交換二電阻的位置，不改變R值，且當R₁或R₂變小時，R也減小，因此不妨取R₁＞R₂．
2°設(shè)3個電阻的組件（如圖1）的總電阻為R_AB：RAB=

R1R2

R1+R2

+R3=

R1R2+R1R3+R2R3

R1+R2

．
顯然R₁+R₂越大，R_AB越小，所以為使R_AB最小必須取R₃為所取三個電阻中阻值最小的一個．
3°設(shè)4個電阻的組件（如圖2）的總電阻為R_CD：

1

RCD

=

1

RAB

+

1

R4

=

R1R2+R1R3+R1R4+R2R3+R2R4

R1R2R4+R1R3R4+R2R3R4

．
若記S1=

1≤i＜j≤4

RiRj，S2=

1≤i＜j＜k≤4

RiRjRk，則S₁、S₂為定值．
于是RCD=

S2-R1R2R3

S1-R3R4

．
只有當R₃R₄最小，R₁R₂R₃最大時，R_CD最小，故應(yīng)取R₄＜R₃，R₃＜R₂，R₃＜R₁，即得總電阻的阻值最�。�…（15分）
4°對于圖3，把由R₁、R₂、R₃組成的組件用等效電阻R_AB代替．
要使R_FG最小，由3°必需使R₆＜R₅；且由1°，應(yīng)使R_CE最��；由2°知要使R_CE最小，必需使R₅＜R₄，且應(yīng)使R_CD最�。�
而由3°，要使R_CD最小，應(yīng)使R₄＜R₃＜R₂且R₄＜R₃＜R₁．
這就說明，要證結(jié)論成立…（20分）

點評：本題考查學(xué)生的探究能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大，需要認真分析與計算．