Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2ⁿa_n（n∈N^*）．
（1）求證：

a1

2

，a₂，a₃成等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意和遞推公式求出a₂、a₃，根據(jù)等比數(shù)列的定義進證明；
（2）由a_n+1=2ⁿa_n得

an+1

an

=2n，利用指數(shù)的運算律、累積法求出{a_n}的通項公式．

解答： 證明：（1）由題意得，a₁=2，a_n+1=2ⁿa_n，
所以a₂=2a₁=4，a₃=4a₂=16，
則

a3

a2

=4，又

a1

2

=1，則

a2

a1 2

=4，即

a2

a1 2

=

a3

a2

，
所以

a1

2

，a₂，a₃成等比數(shù)列；
解：（2）由a_n+1=2ⁿa_n得，

an+1

an

=2n，
則

a2

a1

=21，

a3

a2

=22，…，

an

an-1

=2n-1，
以上（n-1）個式子相乘得，

an

a1

=2•22…2n-1=2

(n-1)(1+n-1)

2

=2

(n-1)n

2

，
所以a_n=a₁•2

(n-1)n

2

=2•2

(n-1)n

2

=2

n2-n+2

2

，
故{a_n}的通項公式是：2

n2-n+2

2

．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列的定義，指數(shù)的運算律，以及累積法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．