Question

函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數(shù)x，我們把|f（x）-g（x）|的值稱為兩函數(shù)在x處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，我們可以求出函數(shù)y=f（x）的圖象與Y軸的交點和y=g（x）的圖象與X軸交點的坐標，求出兩個函數(shù)的導函數(shù)后，根據(jù)函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，即兩函數(shù)在交點處的導數(shù)值相等，構造關于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）由（1）中結論，我們可將不等式化為，若存在x使不等式成立，則m小于在[0，+∞）上的最大值，構造函數(shù)h（x）=，并求出其在[0，+∞）上的最大值，即可得到答案．
（3）構造函數(shù)h（x）=e^x-lnx，并根據(jù)導數(shù)當分析函數(shù)的單調(diào)性，然后分x≥1時和0＜x＜1時，兩種情況分別確定函數(shù)在x處的偏差的取值范圍，即可得到答案．
解答：解：（1）∵f（x）=ae^x，
∴f′（x）=ae^x，
函數(shù)f（x）=ae^x只于Y軸交于（0，a）
且f′（0）=a
又∵g（x）=lnx-lna，
∴g′（x）=，
又∵函數(shù)g（x）=lnx-lna只于X軸交于（a，0）點
∴g′（a）=
又∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行
∴a=1
，
∴


∵x∈（0，+∞）時，e^x＞1

∴h，（x）＜0，h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減
∴h（x）_max=h（0）=0
∴m＜0
（3）設h（x）=e^x-lnx，
（i）當x≥1時，h'（x）＞0，有h（x）≥h（1）=e＞2
（ii）當0＜x＜1時，設，則x+lnx=0[
此時
所以綜上有函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)與方程的綜合應用，直線平行與斜率的關系，導數(shù)法求直線的斜率，函數(shù)恒成立問題，其中（1）的關鍵是根據(jù)函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，確定出兩函數(shù)在與坐標軸交點處導數(shù)值相等；（2）的關鍵是根據(jù)函數(shù)恒成立條件將問題轉化為求函數(shù)的最值，（3）的關鍵是構造函數(shù)h（x）=e^x-lnx，并根據(jù)導數(shù)當分析函數(shù)的單調(diào)性，進行確定分類標準．