Question

已知函數(shù)f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 2 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，則函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)個數(shù)為（　�。�

• A、7
• B、6
• C、5
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)解析式函數(shù)f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 2 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，列出一部分解析式，畫出f（x）與y=

1

x

圖象，f（x）=

1

x

，解的個數(shù)，即可得出零點(diǎn)的個數(shù)．

解答： 解：1-|x-1|=

2-x，1≤x＜2 x，x＜1

當(dāng)3≤x＜4，

1

2

f（x-2）=2-

x

2

，
當(dāng)2≤x＜3時，

1

2

f（x-2）=

1

2

（x-2）=

1

2

x-1
當(dāng)4≤x＜5時，

1

2

f（x-2）=

1

2

×[

1

2

（x-2）-1]=

1

2

×[

1

2

x-2]=

1

4

x-1，
當(dāng)5≤x＜6時，

1

2

f（x-2）=

1

2

×[2-

x-2

2

]=

1

2

×[3-

x

2

]=

3

2

-

x

4

當(dāng)6≤x＜7時，

1

2

f（x-2）=

1

2

×[

x-2

4

-1]=

x

8

-

3

4

，
當(dāng)7≤x＜8時，

1

2

f（x-2）=

1

2

×[

3

2

-

x-2

4

]=1-

x

8

，
f（x）=

1

2

f（x-2），向右平移2個單位，縱坐標(biāo)縮短為

1

2

倍，
∵函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)，
∴f（x）=

1

x

，解的個數(shù)，
y=f（x），y=x交點(diǎn)個數(shù)
x=7時，f（7）=

1

8

，y=

1

7

，

1

8

＜

1

7

從圖象可知有6個交點(diǎn)，
所以函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)個數(shù)為6個，
故選：B

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的圖象，與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題．