Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內為增函數(shù)，求正實數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）若p²-p≥0，且至少存在一點x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先函數(shù)的導函數(shù)，然后求出f'（1）的值即為切線的斜率，然后利用點斜式可求出切線方程；
（Ⅱ）先求導函數(shù)，令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數(shù)，只需h（x）≥0，然后利用參數(shù)分離法求解恒成立問題即可；
（Ⅲ）利用導數(shù)研究函數(shù)f（x）與g（x）在[1，e]上的單調性，求出最值，只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]成立，求出p的取值范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）當p=2時，函數(shù)，…（2分）
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），即y=2x-2．…（4分）
（Ⅱ）．令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數(shù)，只需h（x）≥0…（6分）
即，故正實數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）∵在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]，…（10分）
①當p＜0時，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在y軸的左側，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]內是減函數(shù)．
當p=0時，h（x）=-2x，因為x∈[1，e]，所以，此時，f（x）在x∈[1，e]內是減函數(shù)．
故當p≤0時，f（x）在[1，e]上單調遞減⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意；…（12分）
②當p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，而，即，解得，
所以實數(shù)p的取值范圍是．…（14分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．