Question

已知函數(shù)f（x）=（）^x，x∈[-1，1]，函數(shù)g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值為h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①m＞n＞3；②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）g（x）為關(guān)于f（x）的二次函數(shù)，可用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問(wèn)題，定區(qū)間動(dòng)軸；
（2）由（1）可知a≥3時(shí)，h（a）為一次函數(shù)且為減函數(shù)，求值域，找關(guān)系即可．
解答：解：（1）由，
知，
令
記g（x）=y=t²-2at+3，則g（x）的對(duì)稱軸為t=a，故有：
①當(dāng)時(shí)，g（x）的最小值h（a）=
②當(dāng)a≥3時(shí)，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③當(dāng)時(shí)，g（x）的最小值h（a）=3-a²
綜上所述，
（2）當(dāng)a≥3時(shí)，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3時(shí)，h（a）在[n，m]上為減函數(shù)，
所以h（a）在[n，m]上的值域?yàn)閇h（m），h（n）]．
由題意，則⇒，
兩式相減得6n-6m=n²-m²，
又m≠n，所以m+n=6，這與m＞n＞3矛盾，
故不存在滿足題中條件的m，n的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次二次函數(shù)的值域問(wèn)題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問(wèn)題一般結(jié)合圖象和單調(diào)性處理，“定軸動(dòng)區(qū)間”、“定區(qū)間動(dòng)軸”．