Question

設數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，Sn是a和an的等差中項．

(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)證明＜2.

 

Answer 1

（1）an＝n.（2）見解析

【解析】(1)由已知得，2Sn＝＋an，且an＞0，

當n＝1時，2a1＝＋a1，解得a1＝1(a1＝0舍去)；

當n≥2時，有2Sn－1＝＋an－1.

于是2Sn－2Sn－1＝－＋an－an－1，

即2an＝－＋an－an－1.

于是－＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1.

因為an＋an－1＞0，所以an－an－1＝1(n≥2)．

故數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.

(2)證明：因為an＝n，則Sn＝，，

所以＝2＝2＜2.