(1)設a1,a2,…,an是各項均不為零的n(n≥4)項等差數(shù)列,且公差d≠0,若將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列.
(i)當n=4時,求
a1d
的數(shù)值;
(ii)求n的所有可能值.
(2)求證:對于給定的正整數(shù)n(n≥4),存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b1,b2,…,bn,其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數(shù)列.
分析:(1)根據(jù)題意,對n=4,n=5時數(shù)列中各項的情況逐一討論,利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進行論證,進而推廣到n≥4的所有情況.
(2)利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進行論證即可.
解答:解:(1)①當n=4時,a1,a2,a3,a4中不可能刪去首項或末項,否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比數(shù)列,則推出d=0.
若刪去a2,則a32=a1•a4,即(a1+2d)2=a1•(a1+3d)化簡得a1+4d=0,得
a1
d
=-4

若刪去a3,則a22=a1•a4,即(a1+d)2=a1•(a1+3d)化簡得a1-d=0,得
a1
d
=1

綜上,得
a1
d
=-4
a1
d
=1

②當n=5時,a1,a2,a3,a4,a5中同樣不可能刪去a1,a2,a4,a5,否則出現(xiàn)連續(xù)三項.
若刪去a3,則a1•a5=a2•a4,即a1(a1+4d)=(a1+d)•(a1+3d)化簡得3d2=0,因為d≠0,所以a3不能刪去;
當n≥6時,不存在這樣的等差數(shù)列.事實上,在數(shù)列a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an中,由于不能刪去首項或末項,
若刪去a2,則必有a1•an=a3•an-2,這與d≠0矛盾;
同樣若刪去an-1也有a1•an=a3•an-2,這與d≠0矛盾;
若刪去a3,…,an-2中任意一個,則必有a1•an=a2•an-1,這與d≠0矛盾.(或者說:當n≥6時,無論刪去哪一項,剩余的項中必有連續(xù)的三項)
綜上所述,n=4.
(2)假設對于某個正整數(shù)n,存在一個公差為d的n項等差數(shù)列b1,b2,bn,其中bx+1,by+1,bz+1(0≤x<y<z≤n-1)為任意三項成等比數(shù)列,則b2y+1=bx+1•bz+1,即(b1+yd)2=(b1+xd)•(b1+zd),化簡得(y2-xz)d2=(x+z-2y)b1d(*)
由b1d≠0知,y2-xz與x+z-2y同時為0或同時不為0
當y2-xz與x+z-2y同時為0時,有x=y=z與題設矛盾.
故y2-xz與x+z-2y同時不為0,所以由(*)得
b1
d
=
y2-xz
x+z-2y

因為0≤x<y<z≤n-1,且x、y、z為整數(shù),所以上式右邊為有理數(shù),從而
b1
d
為有理數(shù).
于是,對于任意的正整數(shù)n(n≥4),只要
b1
d
為無理數(shù),相應的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列.
例如n項數(shù)列1,1+
2
1+2
2
,…,1+(n-1)
2
滿足要求.
點評:本題是一道探究性題目,考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,以及學生的運算能力和推理論證能力.
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(i)當n=4時,求
a1d
的數(shù)值;
(ii)求n的所有可能值.
(2)求證:存在一個各項及公差均不為零的n(n≥4)項等差數(shù)列,任意刪去其中的k項(1≤k≤n-3),都不能使剩下的項(按原來的順序)構(gòu)成等比數(shù)列.

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(i)當n=4時,求
a1
d
的數(shù)值;
(ii)求n的所有可能值.
(2)求證:對于給定的正整數(shù)n(n≥4),存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b1,b2,…,bn,其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數(shù)列.

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(ii)求n的所有可能值.
(2)求證:存在一個各項及公差均不為零的n(n≥4)項等差數(shù)列,任意刪去其中的k項(1≤k≤n-3),都不能使剩下的項(按原來的順序)構(gòu)成等比數(shù)列.

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(ii)求n的所有可能值.
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