Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²．
（I）求以曲線f（x）上的點(diǎn)P（1，0）為切點(diǎn)的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）如果函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=x⁵-2x³+x²的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中求出a的值，把a(bǔ)的值代入f（x）中確定出解析式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入即可求出切線方程的斜率，由切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分解因式后，根據(jù)a=0和a大于0，分別討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=x⁵-2x³+x²的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，即令f（x）=g（x）得到的方程有四個(gè)根，顯然x=0是方程的解，所以得到x³-3x+（a+1）=0有三個(gè)不同的非零根，可設(shè)M（x）等于方程的左邊，求出M（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到M（x）的最大值和最小值，讓最大值大于0，最小值小于0，a+1不等于0，列出關(guān)于a的不等式組，求出不等式組的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）過點(diǎn)P（1，0），∴a=1．
∵f′（x）=3x²-2x，k=f′（1）=1，
∴以P（1，0）為切點(diǎn)的切線方程：y=x-1．（3分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a）（a≤0），
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）≥0，則x≥0或x≤

2a

3

，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

2a

3

）∪[0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為[

2a

3

，0）．（7分）
（Ⅲ）∵函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=x⁵-2x³+x²的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴x³-ax²=x⁵-2x³+x²，即x⁵-3x³+（a+1）x²=0有四個(gè)不同的根．
顯然x=0為其中的一個(gè)根．
∴x³-3x+（a+1）=0有三個(gè)不同的非零根，（8分）
構(gòu)造輔助函數(shù)M（x）=x³-3x+（a+1）．則M′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
∴M（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（-∞，-1）∪（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴M（x）_max=M（-1），M（x）_min=M（1），（10分）
∴x³-3x+（a+1）=0有三個(gè)不同的非零根
?

M(-1)＞0 M(1)＜0 a+1≠0

，即

a+3＞0 a-1＜0 a≠-1

，
∴-3＜a＜1且a≠-1．（12分）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．