△ABC中,三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若B=60°,a=(
3
-1)c.
(1)求角A的大。
(2)已知當(dāng)x∈[
π
6
,
π
2
]時,函數(shù)f(x)=cos2x+asinx的最大值為3,求△ABC的面積.
分析:(1)用題目中所給的條件建立方程,通過消元得到關(guān)于角A的等式,利用它求角A的砰然函數(shù)值來,進(jìn)而求出角.
(2)題目中知道了最大值為3,利用fmax=3建立相關(guān)的方程,此處要用二次函數(shù)在某一個確定區(qū)間上的最值問題的相關(guān)知識來最值為3的條件轉(zhuǎn)化為參數(shù)a的方程來求值,進(jìn)而再由面積公式求出三角形的面積,
解答:解:(1)因為B=60°,所以A+C=120°,C=120°-A
∵a=(
3
-1)c,由正弦定理可得:sinA=(
3
-1)sinC
sinA=(
3
-1)sin(120°-A)=(
3
-1)(sin120°cosA-cos120°sinA)
=(
3
-1)(
3
2
cosA+
1
2
sinA)
整理得,tanA=1
∴A=45°.
(2)f(x)=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,
∵x∈[
π
6
π
2
],
∴t∈[
1
2
,1]
f(x)=g(t)=-2t2+at+1=-2(t-
a
4
2+
a2
8
+1,t∈[
1
2
,1]
a
4
1
2
,即a<2
fmax=g(
1
2
)=
1
2
a+
1
2
=3,,故a=5(舍去)
1
2
a
4
≤1即2≤a≤4,
fmax=g(
a
4
)=
a2
8
+1=3,得a=3
a
4
>1,即a>4,
fmax=g(
1
2
)=1-2+a=a-1=3,得a=4(舍去)
故a=4,S△ABC=6+2
3
點評:本題考查了正弦定理,角的變換,三角轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用函數(shù)的相關(guān)知識得到關(guān)于最值3的方程,求參數(shù)求最值,方法靈活,技巧性很強,是一道能訓(xùn)練答題都靈活答題能力的好題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,C=
π
4
,cosB=
3
5

(1)求sinA的值;
(2)求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,三個內(nèi)角∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,且a:b:c=1:
3
:2,則sin A:sin B:sin C=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若△ABC中,三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列,且a+c=1,則邊b的取值范圍是
[
1
2
,1)
[
1
2
,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,已知sinC=2sin(B+C)cosB.
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)設(shè)向量
m
=(a+c,b),
n
=(b+a,c-a)
,若
m
n
,求∠A.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)一模)在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA=
3
acosB

(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若b=2
3
,求ac的最大值.

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