Question

（本小題滿分12分）

已知定義域為的函數(shù)滿足：①時，；②③對任意的正實數(shù)，都

有．

（1）求證：；

（2）求證：在定義域內(nèi)為減函數(shù)；

（3）求不等式的解集．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3） .

【解析】

試題分析：

（1）令，即可求得，令，即可證得

（2）利用單調(diào)性的定義即可證明；

（3）根據(jù)（2）可求得，從而可得，再利用在定義域內(nèi)為減函數(shù)，即可求得其解集.

試題解析：

（1）因為對任意，都有，

所以令，則，即

再令，則，所以，即；

（2）設(shè)，且，則，所以

又

所以，即，

所以在上是減函數(shù)；

（3）由，得，又，所以

所以不等式為，

即，亦即

因為是上的減函數(shù)，

所以，解得，

所以不等式的解集為.

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的證明及性質(zhì).