【答案】
分析:(I)把p=3代入f(x)中確定出解析式,求出f(1)確定出切點坐標和導(dǎo)函數(shù),把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線方程的斜率,根據(jù)切點坐標和斜率寫出切線方程即可;
(Ⅱ)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),要使函數(shù)在定義域內(nèi)位增函數(shù),即要導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)恒大于0,由導(dǎo)函數(shù)的分子解出p大于等于一個關(guān)系式,利用基本不等式求出這個關(guān)系式的最大值,進而得到p的取值范圍;
(Ⅲ)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)等于0得到一個方程,記作(*),設(shè)方程的左邊為函數(shù)h(x),當p=0時求出方程(*)的解為0,顯然函數(shù)無極值點;當p不為0時,討論函數(shù)有一個極值和兩個極值,列出不等式組,求出不等式組的解集即可得到p的取值范圍.
解答:解:(I)當p=3時,函數(shù)f(x)=3x-
-2lnx,
f(1)=3-3-2ln1=0,f′(x)=3-
-
,
曲線f(x)在點(1,f(x))處的切線的斜率為f′(1)=3-3-2=4,
∴f(x)在點(1,f(x))處得切線方程為y-0=4(x-1),即y=4x-4;
(Ⅱ)f′(x)=p+
-
=
,(4分)
要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需f′(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,
即px
2-2x+p≥0在(0,+∞)上恒成立,(5分)
即p≥
在(0,+∞)上恒成立,
設(shè)M(x)=
,(x>0)(6分)
則M(x)=
=
,
∵x>0,∴x+
≥2,當且僅當x=1時取等號,(7分)
∴M(x)≤1,即M(x)
max=1,∴p≥1,
所以實數(shù)p的取值范圍是[1,+∞);(8分)
(Ⅲ)∵f′(x)=
,令f′(x)=0,即px
2-2x+p=0(*)(9分)
設(shè)h(x)=px
2-2x+p,x∈(0,3),
當p=0時,方程(*)的解為x=0,此時f(x)在x∈(0,3)無極值,所以p≠0;
當p≠0時,h(x)=px
2-2x+p的對稱軸方程為x=
,
①若f(x)在x∈(0,3)恰好有一個極值,
則
或
,解得:0<p≤
,
此時f(x)在x∈(0,3)存在一個極大值;(11分)
②若f(x)在x∈(0,3)恰好兩個極值,即h(x)=0在x∈(0,3)有兩個不等實根
則
或
,解得:
<p<1,(13分)
∴0<p<1,
綜上所述,當0<p<1時,y=f(x)在x∈(0,3)存在極值.(14分)
點評:此題考查學生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,掌握函數(shù)在某點取得極值的條件,是一道中檔題.