Question

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點P（
x₀，y₀）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP，NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0）．
（Ⅰ）試用x₀，y₀，m，n的代數(shù)式分別表示x_E和x_F；
（Ⅱ）已知“若點P（x₀，y₀）是圓C：x²+y²=R²上的任意一點（
x₀•y₀≠0），MN是垂直于x軸的垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則xE•xF=R2”．類比這一結(jié)論，我們猜想：“若曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（如圖），則x_E•x_F也是與點M、N、P位置無關(guān)的定值”，請你對該猜想給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出直線l_MP 方程，令y=0，可得x_E，同理求出直線l_NP 方程，令y=0，求得x_F；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，利用M，P 在橢圓C上，計算出x_E•x_F的值，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：因為MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，所以N（m，-n），
則l_MP：y-n=

y0-m

x0-m

(x-m)                                      …（2分）
令y=0，則xE=

my0-nx0

y0-n

                                      …（4分）
同理可得：xF=

my0+nx0

y0+n

，…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知：xE•xF=

my0-nx0

y0-n

×

my0+nx0

y0+n

=

m2y 2 0 -n2x 2 0

y 2 0 -n2

，…（8分）
∵M，P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，
∴n²=b²(1-

m2

a2

)，

y

2 0

=b²(1-

x02

a2

)，…．（10分）
∴x_E•x_F=

m2y 2 0 -n2x 2 0

y 2 0 -n2

=

b2(m2 - x 2 0 )

b2 a2 (m2-x 2 0 )

=a²（定值）．
∴x_E•x_F是與MN和點P位置無關(guān)的定值．…（15分）

點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．