Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）若數(shù)列Pn=

n2

4

+24n(n∈N*)，甲同學利用第（2）問中的T_n，試圖確定T_2k-P_2k（k∈N^*）的值是否可以等于2011？為此，他設計了一個程序（如圖），但乙同學認為這個程序如果被執(zhí)行會是一個“死循環(huán)”（即程序會永遠循環(huán)下去，而無法結束），你是否同意乙同學的觀點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意及2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*），令n=1，求得數(shù)列的首項，在利用已知數(shù)列的前n項和求出數(shù)列的通項；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），可以求出數(shù)列b_n的通項公式，再有數(shù)列{c_n}滿足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，利用分組求和求出數(shù)列c_n的前n項的和；
（3）由題意及（2）可知n為偶數(shù)，即dn=A-B=Tn-Pn=

4

3

•2n-

47

2

n-

4

3

，由于d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47分析該式即可．

解答：解：（1）n=1，2（S₁+1）=a₁²+a₁?a₁=2．

n≥2，2(Sn+1)=an2+an 2(Sn-1+1)=an-12+an-1

，
兩式相減，得2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．
?{a_n}為等差數(shù)列，首項為2，公差為1
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）∵{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*），
n為偶數(shù)時，T_n=（a₁+a₃++a_n-1）+（b₂+b₄++b_n）
=

(a1+an-1)• n 2

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)；
n為奇數(shù)時，T_n=T_n-1+c_n，
=

(n-1)2+2(n-1)

4

+

4

3

(2n-1-1)+(n+1)=

n2+4n+3

4

+

1

3

•2n+1-

4

3

，
（3）∵n=2k為偶數(shù)，
∴T_n=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)，Pn=

n2

4

+24n
設dn=A-B=Tn-Pn=

4

3

•2n-

47

2

n-

4

3

，
∵d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47，
∴d₄＜d₆＜d₈＜d₁₀＜2011＜d₁₂＜d₁₄＜…，且d₂＜2011
∴d_n≠2011，即T_n-P_n≠2011（n為偶數(shù)），
∴乙同學的觀點正確．

點評：此題考查了已知數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項，等比數(shù)列的定義及通項公式，還考查了學生分類討論的思想．