Question

已知函數(shù)f（x）=

3

cos（ωx-

π

2

）+cos（ωx+π）（ω＞0）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于π．
（1）求f（x）的表達式；（要寫出推導(dǎo)過程）
（2）若B是直角三角形ABC的內(nèi)角，求f（B）的值域．

Answer 1

分析：（1）我們可以利用誘導(dǎo)公式，化簡函數(shù)解析式為正弦型函數(shù)的形式，再由已知中函數(shù)f(x)=3cos(ωx-

π

2

)+cos(ωx+π)(ω＞0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于π，我們可以求出函數(shù)的周期，進而確定ω值，進而得到f（x）的表達式
（2）由B是直角三角形ABC的內(nèi)角，則0＜B≤

π

2

，根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式和正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易得到f（B）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

3

cos(ωx-

π

2

)+cos(ωx+π)=

3

sinωx-cosωx------（2分）
（每個誘導(dǎo)公式1分）
=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)----------（3分）
=2sin(ωx-

π

6

)----------（4分）
由條件有

1

2

T=π，∴T=2π，----------（5分）
∴

2π

ω

=2π，∴ω=1----------（6分）
∴f(x)=2sin(x-

π

6

)----------（7分）
（2）由條件0＜B≤

π

2

（3）----------（1分）
∴-

π

6

＜B-

π

6

≤

π

2

-

π

6

=

π

3

----------（2分）
∴-

1

2

＜sin(B-

π

6

)≤

3

2

----------（3分）
∴-1＜f(B)≤

3

----------（4分）
∴f（B）的值域是(-1，

3

]．----------（5分）

點評：本題考查的知識點是正弦函數(shù)的定義域和值域，三角函數(shù)的周期性及其求法，其中根據(jù)已知條件利用誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的周期性求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．