Question

（2011•焦作一模）已知雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的離心率為e，焦點為F的拋物線y²=2px與直線y=k（x-

p

2

）交于A、B兩點，且

|AF|

|FB|

=e，則k的值為

+

.

2

2

．

Answer 1

分析：依題意，可求得e=2，由

y2=2px y=k(x- p 2 )

可求得關于y的一元二次方程，結合

|AF|

|FB|

=2可求得A、B兩點縱坐標之間的關系，消掉它即可求得k的值．

解答：解：雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的離心率為e=

4+12

2

=2．
由

y2=2px y=k(x- p 2 )

消去x得：y²-

2p

k

y-p²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y1+y2= 2p k ① y1•y2=-p2②

，
又

|AF|

|FB|

=2，F（

p

2

，0），
∴0-y₁=2（y₂-0），
∴y₁=-2y₂代入①得：y₂=-

2p

k

；③
把y₁=-2y₂代入②得：y22=

p2

2

；④
對③兩端平方得：y22=

4p2

k2

⑤．
由④⑤得：k²=8．
∴k=±2

2

．
故答案為：±2

2

．

點評：本題考查雙曲線的性質，考查直線與拋物線的位置關系及應用，考查轉化思想與方程思想，屬于中檔題．