已知f(x)=x4-2ax2,若|f′(x)|≤1在區(qū)間[0,1]上恒成立,則實數(shù)a的取值集合為
{a|
3
4
≤a≤3
3
1
4
}
{a|
3
4
≤a≤3
3
1
4
}
分析:由題意判斷 a>0,由|f′(x)|≤1恒成立,可得a≤x2 +
1
4x
恒成立,且 a≥x2 -
1
4x
恒成立.令h(x)=x2 +
1
4x
,t(x)=x2 -
1
4x
,則a小于或等于h(x)的最小值,且a大于或等于t(x)的最大值,求出h(x)的最小值和t(x)的最大值,即可得到實數(shù)a的取值集合.
解答:解:∵f(x)=x4-2ax2,∴f′(x)=4x3-4ax=4x(x2-a).
∵當x∈[0,1]時,|f′(x)|≤1,
當a≤0時,|f′(x)|=4x(x2-a),在[0,1]上是增函數(shù),f′(0)=0,f′(1)=4(1-a)≤1,此時,a 無解.
故 a>0.
由|f′(x)|≤1恒成立,可得-1≤f′(x)|≤1,即-1≤4x(x2-a)≤1.
化簡可得-
1
4x
≤x2-a≤
1
4x
,∴a≤x2 +
1
4x
 恒成立,且 a≥x2 -
1
4x
 恒成立.
令h(x)=x2 +
1
4x
,t(x)=x2 -
1
4x

則a小于或等于h(x)的最小值,且a大于或等于t(x)的最大值.
由h(x)=x2 +
1
4x
=x2 +
1
2x
+
1
2x
≥3
3x2
1
2x
1
2x
=3
3
1
4
,當且僅當 x2=
1
2x
,即 x=
3
1
2
時,等號成立.
∴a≤3
3
1
4
①.
由于 t(x)=x2 -
1
4x
 在[0,1]上是增函數(shù),故t(x)的最大值為 t(1)=
3
4
,∴a≥
3
4
 ②.
由①②可得實數(shù)a的取值集合為{a|
3
4
≤a≤3
3
1
4
},
故答案為 {a|
3
4
≤a≤3
3
1
4
}.
點評:本題主要考查求函數(shù)的導數(shù),絕對值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問題,求函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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