Question

已知常數(shù)a＞1，實(shí)數(shù)x，y滿足

x+y≤1 x+2y≥1 x-2y≥-2

，則z=ax+y的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=Ax+y得y=-ax+z，
平移直線y=-ax+z，
∵a＞1，∴-a＜-1，
由圖象可知當(dāng)直線y=-ax+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-ax+z的截距最大，
此時(shí)z最大．
由

x-2y=-2 x+2y=1

解得

x=- 1 2 y= 3 4

，即A（-

1

2

，

3

4

），
代入目標(biāo)函數(shù)z=ax+y得z=-

1

2

a+

3

4

=

3-2a

4

．
故答案為：

3-2a

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．