Question

已知對稱中心為坐標原點的橢圓C₁與拋物線C₂：x²=4y有一個相同的焦點F₁，直線l：y=2x+m與拋物線C₂只有一個公共點．
（1）求直線l的方程；
（2）若橢圓C₁經過直線l上的點P，當橢圓C₁的離心率取得最大值時，求橢圓C₁的方程及點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線l：y=2x+m與拋物線C₂只有一個公共點，所以x²=4（2x+m）只有唯一解，從而可求m的值，即可得到直線l的方程；
（2）橢圓兩焦點F₁（0，1），F₂（0，-1），橢圓過直線l上的點P，要使橢圓的離心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，只需求F₂關于直線L的對稱點F₃到F₁的距離即可．
解答：解：（1）又因為直線l：y=2x+m與拋物線C₂只有一個公共點，所以x²=4（2x+m）只有唯一解，所以x²-8x-4m=0只有唯一解，所以64+16m=0，所以m=-4，∴直線l的方程為：y=2x-4．
 （2）拋物線C₂：x²=4y的焦點坐標為F₁（0，1），所以橢圓C₁中，c=1，焦點在y軸上，
所以橢圓兩焦點F₁（0，1），F₂（0，-1）．
橢圓又過直線l上的點P，要使橢圓的離心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，
只需求F₂關于直線L的對稱點F₃到F₁的距離即可．
設F₂關于直線L的對稱點F₃（m，n），
∴，解得，
即F₃（，-），所以直線F₁F₃方程為：，即y=-x+1，
與直線l聯立，可得，即P（）；
此時橢圓C₁中，2a=|F₁F₃|=4，
∴a²=4，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓方程為
點評：本題考查直線與橢圓的方程，解題的關鍵是使橢圓的離心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，只需求F₂關于直線L的對稱點F₃到F₁的距離即可．