Question

【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，梯形ABCD內(nèi)接于圓O，AD∥BC，且AB=CD，過(guò)點(diǎn)B引圓O的切線(xiàn)分別交DA、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F．
（1）求證：CD²=AE•BC；
（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，利用直線(xiàn)平行的性質(zhì)和弦切角定理推導(dǎo)出△EAB∽△ABC，由此能證明CD²=AE•BC．
（2）由已知條件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出結(jié)果．

解答：解：（1）因?yàn)锳D∥BC，所以∠EAB=∠ABC．
又因?yàn)镕B與圓O相切于點(diǎn)B，
所以∠EBA=∠ACB，
所以△EAB∽△ABC，
所以

AE

BA

=

AB

BC

，即AB²=AE•BC，
因?yàn)锳B=CD，所以CD²=AE•BC．
（2）因?yàn)锳B²=AE•BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD，
所以AE=

AB2

BC

=

25

8

，
因?yàn)锳D∥BC，所以∠FAE=∠ACB，
又因?yàn)椤螮BA=∠ACB，
所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F，
所以△FEA∽△FAB，
所以

AE

AB

=

EF

AF

，
所以EF=

AE

AB

•AF=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形相似的應(yīng)用，考查與圓有關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要注意弦切角定理和三角形相似的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．