Question

對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：(1-)為0.8，要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(x＞a-1)，用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中c(0.8＜c＜0.99)是該物體初次清洗后的清潔度.

(1)分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；

(2)若采用方案乙，當(dāng)a為某定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少？并討論a取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響.

Answer 1

解：(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99.解得x=19.

    由c=0.95得方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿(mǎn)足方程=0.99，解得y=4a，故z=4a+3.

    即兩種方案的用水量分別為19與4a+3.

    因?yàn)楫?dāng)1≤a≤3時(shí)，x-z=4(4-a)＞0，即x＞z,故方案乙的用水量較少.

(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類(lèi)似(1)得

x=，y=a(99-100c)(*).

    于是x+y=+a(99-100c)

=+100a(1-c)-a-1.

    當(dāng)a為定值時(shí)，x+y

≥2-a-1=-a+4-1.

    當(dāng)且僅當(dāng)=100a(1-c)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)c=1+(不合題意，舍去)，

    或c=1-∈(0.8,0.99).

    將c=1-代入(*)式得x=2-1＞a-1,y=2-a.

    故c=1-時(shí)總用水量最少，此時(shí)第一次與第二次用水量分別為2-1與2-a，最少總用水量T(a)=-a+4-1.

    當(dāng)1≤a≤3時(shí)，T′(a)=-1＞0，故T(a)是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷).這說(shuō)明，隨著a的值的增加，最少總用水量增加.