已知a>0,函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax.
(1)設(shè)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為l,若l與圓(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值.
【答案】
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求出f′(1)即切線的斜率,求出f(1),利用點斜式寫出直線的方程,利用圓心到直線的距離等于半徑流程方程求出a的值.
(2)令f′(x)>0求出x的范圍寫出區(qū)間形式即為單調(diào)遞增區(qū)間;令f′(x)<0求出x的范圍寫出區(qū)間形式即為單調(diào)遞減區(qū)間.
(3)由(2),求出函數(shù)的極值及區(qū)間的端點值,比較極值與端點值選出最值.
解答:解:(1)依題意有x<2,
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(1分)
過點(1,f(1))的直線斜率為a-1,所以過(1,a)點的直線方程為y-a=(a-1)(x-1)(2分)
又已知圓的圓心為(-1,0),半徑為1
∴
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,解得a=1(3分)
(2)
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當(dāng)a>0時,
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(5分)
令f′(x)>0,解得
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,令f′(x)<0,解得
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所以f(x)的增區(qū)間為
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,減區(qū)間是
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(7分)
(3)當(dāng)
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,即
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時,f(x)在[0,1]上是減函數(shù)所以f(x)的最小值為f(1)=a(9分)
當(dāng)
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即
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時f(x)在
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上是增函數(shù),在
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是減函數(shù)所以需要比較f(0)=ln2和
f(1)=a兩個值的大�。�11分)
因為
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,所以
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∴當(dāng)
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時最小值為a,當(dāng)ln2≤a<1時,最小值為ln2(12分)
當(dāng)
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,即a≥1時,f(x)在[0,1]上是增函數(shù)
所以最小值為ln2.
綜上,當(dāng)0<a<ln2時,f(x)為最小值為a
當(dāng)a≥ln2時,f(x)的最小值為ln2(14分)
點評:求函數(shù)的最值時,一般先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值,再求出區(qū)間端點值,從中比較出最值.