Question

已知函數(shù)f（x）=ex-lnx，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)存在x₀，使不等式f（x）＜x+m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，以及導(dǎo)函數(shù)大于0，小于0對應(yīng)的區(qū)間即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令F（x）=（e-1）x-lnx，先把問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)，F(xiàn)（x）_min＜m；再利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)F（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出其最小值即可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=(ex-lnx)′=e-

1

x

當(dāng)f′（x）＞0，即e-

1

x

＞0?x＞

1

e

時(shí)，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)f′（x）＜0，即e-

1

x

＜0， 又x＞0?0＜x＜

1

e

時(shí)，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

1

e

， +∞)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(0， 

1

e

]
（Ⅱ）由不等式f（x）＜x+m，得f（x）-x＜m，令F（x）=f（x）-x，則F（x）=（e-1）x-lnx
由題意可轉(zhuǎn)化為：在區(qū)間[

1

e

， e]內(nèi)，F(xiàn)（x）_min＜m，F′(x)=[ ，令F′（x）=0，得x=

1

e-1

x	1 e	( 1 e ，  1 e-1 )	1 e-1	( 1 e-1 ， e)	e
F′（x）		-	0	+
F（x）		遞減	極小值	遞增

由表可知：F（x）的極小值是F(

1

e-1

)=(e-1)×

1

e-1

-ln

1

e-1

=1+ln(e-1)且唯一，
所以F（x）_min=1+ln（e-1）．因此，所求m的取值范圍是（ln（e-1），+∞）．

點(diǎn)評：本題第二問主要考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．