Question

已知函數(shù)f(x)=loga

x+1

x-1

（a＞0，a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當(dāng)x∈（n，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值．

Answer 1

（1）由

x+1

x-1

＞0得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（-∞，-1），…（2分）
又f(-x)=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=loga(

x+1

x-1

)-1=-loga

x+1

x-1

=-f(x)
所以f（x）為奇函數(shù)．  …（4分）
（2）由（1）及題設(shè)知：f(x)=loga

x+1

x-1

，設(shè)t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，
∴當(dāng)x₁＞x₂＞1時(shí)，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∴t₁＜t₂．…（6分）
當(dāng)a＞1時(shí)，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．…（8分）
（3）①當(dāng)n＜a-2≤-1時(shí)，有0＜a＜1．
由（2）可知：f（x）在（n，a-2）為增函數(shù)，…（9分）
由其值域?yàn)椋?，+∞）知

loga 1+n n-1 =1 a-2=-1

，無(wú)解  …（11分）
②當(dāng)1≤n＜a-2時(shí)，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a-2）為減函數(shù)，
由其值域?yàn)椋?，+∞）知

n=1 loga a-1 a-3 =1

…（13分）
得a=2+

3

，n=1．…（14分）