Question

已知函數(shù)f（x）=（ax-1）e^x，a∈R
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=1代入，對函數(shù)求導，分解結(jié)不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函數(shù)f（x），f′（x）的變化情況，進而研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性求解函數(shù)的最值
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)?f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，分類a，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．
（法一）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax+a-1，借助于一次函數(shù)的性質(zhì)討論．
（法二）轉(zhuǎn)化a恒成立，進而求在（0，1）上的最值（或值域）
解答：解：（I）因為f'（x）=（ax+a-1）e^x，
所以當a=1時，f'（x）=xe^x，
令f'（x）=0，則x=0，
所以f（x），f'（x）的變化情況如下表：


所以x=0時，f（x）取得極小值f（0）=-1．
（II）因為f'（x）=（ax+a-1）e^x，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)，
所以f'（x）≥0對x∈（0，1）恒成立．
又e^x＞0，所以只要ax+a-1≥0對x∈（0，1）恒成立，
解法一：設g（x）=ax+a-1，則要使ax+a-1≥0對x∈（0，1）恒成立，
只要成立，
即，解得a≥1．
解法二：要使ax+a-1≥0對x∈（0，1）恒成立，
因為x＞0，所以對x∈（0，1）恒成立，
因為函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以只要．
點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于基本知識的簡單運用，而函數(shù)的在區(qū)間上的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，常用分離參數(shù)法．