Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當時，試比較與1的大��；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；

（2）①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即．

（3）見解析.

【解析】(I)本小題的實質(zhì)是利用導數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性極值，結(jié)合草圖，確定出直線y=k與函數(shù)y=f(x)的圖像有一個公共點時，確定k的取值范圍.

(II)當a=2時，可以采用作差法比較f(x)與1的大小，然后構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)區(qū)間最值，從而判斷它們之間的大小關系.

(III)解決本小題最佳途徑是利用(2)的結(jié)論，當時，，即．

令，則有，  然后解本題的另一個關鍵點判斷出,從而證明出.

另外也可以考慮數(shù)學歸納法.

解：（Ⅰ）當時，，定義域是，

， 令，得或．  …2分

當或時，，當時，，

   函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分

的極大值是，極小值是．

當時，；當時，，

當僅有一個零點時，的取值范圍是或．………5分

  （Ⅱ）當時，，定義域為．

      令，

       ，

       在上是增函數(shù)．              ……………………7分

①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即．  …………………………………9分

（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當時，，即．

令，則有，    ． ……12分

，

．                ………………………14分

 （法二）當時，．

，，即時命題成立．   …………………10分

設當時，命題成立，即 ．

 時，．

根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．………13分

因此，由數(shù)學歸納法可知不等式成立．                 ………………………14分

（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

．  ………………………………12分

，

又，，

．

．                …………………………………14分